Теоремою Планшереля у гармонічному аналізі називається твердження про властивості функцій дійсної змінної і їх перетворень Фур'є. Теорема доведена швейцарським математиком Мішелем Планшерелем у 1910 році[1].
Якщо комплекснозначна функція f, визначена на множині дійсних чисел належить просторам і , тоді її перетворення Фур'є, яке є комплекснозначною функцією дійсної змінної, що визначається як:
теж є функцією із . До того ж виконується формула Планшереля — Персеваля:
де є двома функціями, що задовольняють вказані умови, а — їх перетвореннями Фур'є.
Зокрема:
- .
Одержані таким чином функції утворюють щільну підмножину у і відображення із простору функцій можна продовжити до унітарного оператора на просторі .
У випадку коли належать деякому хорошому класу функцій, наприклад є функціями Шварца, можна дати просте доведення формули за допомогою оберненого перетворення Фур'є. У цьому випадку
і з властивостей комплексного спряження також
Тоді
- ↑ Plancherel, Michel (1910), Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30 (1): 289—335, doi:10.1007/BF03014877.